两种微积分观点看运动论题和黑格尔的辩证法

这里dsIn=dxIy或yds=ndx。这些无穷小的总和便得到参见NN5doddcyndncdoyo9J3ciiddiegcy9ndncdcyy，194639f克莱因古今数学思想第2册J上海上海科学技术出版社，200276fq5Ny5Xncyyooyc9ndodyJNwYcc1c&.Bnyyyid，201273＠贝克莱说“oddoddy（指牛顿和莱布尼茨）yoniiincncyncndycy，c1onydi9ccocyy”。参见AyooycdignodnnyJNwYcc1c&.Bnyyyid，1994293。参见AyooycdignodnnyJNwYcc1c&.Bnyyyid，1994239。我认为，这是他的µ单子论哲学在几何上的运用。在单子论中，他开篇便言“1我们在这里所要讲的单子（di），不是别的东西，只是一种组成复合物的单纯实体，单纯，就是没有部分的意思。”（参见北京大学哲学系外国哲学史教研室编译十六见十八世纪西欧各国哲学J北京生活．读书．新知三联书店，1958292）莱普尼兹认为单子是组成物体的最终“微粒”。

张华夏 以标准分析和非标准分析两种微积分观点看运动论题和黑格尔的辩证法不过莱布尼茨还没有建立一个系统的实无穷小理论，从认识论上看，他将它看作是一种有很好基础的“虚构"，像虚数一样，它是有用的，并服从通常数的规律但从本体论上看，他更多地将无穷小看作是万物由此组成的不可再分的最小的原子，无穷小是小于一切甚至小于任何实数的实无穷小[42，7非标准分析继承莱布尼茨的理论，承认实无穷小提出了超实数的概念，它包含了实数作为它的子集，用各种各样的无穷小扩展了实数

（二）什么是非标准分析

20世纪60年代初，德国数学家亚伯拉罕鲁滨逊（Acdodyy）提出非标准分析，重新回到莱布尼茨的实无限进路，并以此为数学分析建构出一个严谨的基础＠数学家与逻辑学家哥德尔（qncoi）说“不论从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析在实数之后，下一个十分自然的步骤，即引入无限小竟被轻易地忽略了它在发明微积分后300年才发展起来，这是数学史上的一件大怪事"

1定义与组成

超实数域是将实数域作为它的子集的一个系统其中的实无穷小数x用0，2来表示，这与标准分析对它们的用法不同，如果对于所有的正实数r，有x<r，则x为实无穷小数，它是超实数的组成部分这里超实数记作0超实数分为三个部分（1）无穷小数（nydy，如0，2），它比任何实数要小）（2）有限数，它就是实数，任何“给定"的实数都是有限地大的）（3）无穷大数（ny，如，这里2=14），它比任何实数都要大，即对于所有的正实数r，有xr实数和超实数都是有序（ciciy-ny）的，例如可以由小到大（或由大到小）排个队这些都是实数与超实数的共同性质在这方面，它们是同构的这个组成可以用下面的超实数组成图表示

关于非标准分析的一些参考文献鲁滨逊非标准分析[申又枨，王世强，张锦文，等译北京科学出版社，1980）q5y1dc9dnnyAnyddcdo[15ydinccccd，2013）ABANY，yVNydidcidd9yy-y19[Vdcc5666，1999

＠鲁滨逊的非标准分析（（yB5NNAN-ydidcidd9yy[AycidNco-1dinyo1d9，1966）一书发表于1966年，书中的某些主题已出现于其1961年的同名文章（yB5NNAN-ydidcidd9yy[ci1ynoy9d9A，1961，64432-440）中参见N-ydidcidd9yy[B4（2019-03-27）[2019-04-01oy44widc14w4iXos=N-ydidcisdd9yy&.ii=8897171935yyny）yB5NNA5cinioc9dioddodynd1cd[AycidNco-1dinyo1d9，1963278

位于最下面一行（左侧）的都是无穷小它指明每一个实数周围有无穷多个与它自身相差为一无穷小量的非标准数它们的大小是有序的。例如在任何实数之间有23222/1002752槡22槡2就是由小到大的一个序。而且是＂连续的"只不过是非阿基米德的连续性。

2运算法则

非标准分析认为在任何两个实数之间有许多（前面讲过是无限多个）无穷小存在。至少有这样的法则无穷小有限量=无穷小无穷小无穷小=无穷小[8很可能还有一个公式无穷小无穷大=有限数。莱布尼茨正是以这个公式求得圆的面积和曲线的周长＠。鲁滨逊说除了它是非阿基米德域这一点外其他性质与相同稠密性有序性等等在中同一样能进行加减乘除等运算[9。实数数学中的结合律交换律分配律同一律传递律在超实数中都成立。而最基本的与实数域同构的运算法则可以用公式简要表示为=（<）这里为超实数有序域为超实数+它们同构于实数域=（<）。

根据非标准分析如果xy并且x–y是无穷小则称x与y彼此无限逼近记作xy+如果xy是有限的超实数则xyrr为唯一实数。我们称r为xy的标准部分记作r=st（x）和r=st（y）即st（x）=st（y）。独立变量的导数的定义就是d（x）/dx=st（（（xx）（x））/x）这里实无穷小x0。

而积分!（x）dx定义为!（x）dx=a a

st（�mdx）这里m为mi它将被积分区间'划分为无数的dx部分（见图4）。以上两个问题后者给出一个非标准分析微积分运算技巧前者对后者给出一个理论解释。